RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

RUMUS TRIGONOMETRI SMAN/SMA KELAS XI IPA

A. Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih Dua Sudut, dan Sudut Ganda
1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Sebelum membahas rumus trigonometri cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut, perlu kamu ingat kembali dalam segitiga siku-siku ABC berlaku:

Selanjutnya, perhatikanlah gambar berikut.

Dari lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 1 satuan misalnya,
∠ AOB = ∠ A
∠ BOC = ∠ B
maka ∠AOC = ∠ A + ∠ B

Dengan mengingat kembali tentang koordinat
Cartesius, maka:
a. koordinat titik A (1, 0)
b. koordinat titik B (cos A, sin A)
c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}
d. koordinat titik D {cos (–B), sin (–B)} atau (cos B, –sin B)

Rumus cosinus jumlah dua sudut:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Dengan cara yang sama, maka:
cos (A – B) = cos (A + (–B))
cos (A – B) = cos A cos (–B) – sin A sin (–B)
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Rumus cosinus selisih dua sudut:
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

2. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Perhatikan rumus berikut ini.

Maka rumus sinus jumlah dua sudut: sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
Dengan cara yang sama, maka:
sin (A – B) = sin {A + (–B)}
= sin A cos (–B) + cos A sin (–B)
= sin A cos B – cos A sin B
Rumus sinus selisih dua sudut: sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

4. Penggunaan Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Ganda
Rumus untuk sin 2α
Anda telah mengetahui bahwa
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
Untuk β = α, diperoleh
sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α
sin 2 α = 2 sin α cos α
Jadi, sin 2α = 2 sin α cos α

Rumus untuk cos 2α
Anda juga telah mempelajari bahwa

Rumus untuk tan 2α

Perkalian, Penjumlahan, serta Pengurangan Sinus dan Kosinus
Perkalian Sinus dan Kosinus
Kita telah mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dalam trigonometri, yaitu:

Penjumlahan dan Pengurangan Sinus
Rumus perkalian sinus dan kosinus dalam trigonometri di bagian C.1 dapat
ditulis dalam rumus berikut.

Identitas Trigonometri

Contoh Soal Trigonometri

integral

Vektor

VEKTOR

1. Pengertian vektor 
 
Pada garis berarah dari titik A ke titik B di R 3 mempunyai panjang tertentu dinyatakan sebagai vektor. Vektor dapat dinotasikan dengan : 
 
Atau dapat juga dinyatakan sebagai :  
Dimana  adalah vektor satuan. 

2. Panjang Vektor 
Jika titik A (x₁,y₁,z₁) dan B (x₂,y2,z2) maka vektor AB adalah : 
 
 
 

 

3. Vektor Satuan 
Vektor satuan adalah adalah vektor yang panjangnya satu satuan.

Jika vektor  

maka vektor satuan dari a adalah: 
 
4. Operasi Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Vektor dangan Skalar 
a. Penjumlahan atau pengurangan vektor 
 

Contoh : 

Diketahui vektor 

Nilai  
Jawab : 

 

 

b. Perkalian Skalar dengan vektor 
 
5. Rumus Perbandingan, Perkalian Skalar Proyeksi dan Perkalian Silang Vektor 
a. Perkalian Skalar 
 
b. Cross Product 

 
 
 
 
 
 
 
 
d. Rumus Pembagian 

 
 
Contoh : 
Diketahui titik A (-4, 1, 3 ), B (6, -4, 3) dan C (4, 5, -1) Titik R membagi AB sehingga 2AR = 3RB, vektor yang mewakili  adalah : 
Jawab : 
 
 

Vektor

3BAB2VEKTORKatavektorberasaldaribahasaLatinyangberarti“pembawa”(carrier),yangadahubungannyadengan“pergeseran”(displacement).Vektorbiasanyadigunakanuntukmenggambarkanperpindahansuatupartikelataubendayangbergerak,ataujugauntukmenggambarkansuatugaya.Vektordigambarkandengansebuahgarisdengananakpanahdisalahsatuujungnya,yangmenunjukkanarahperpindahan/pergeserandaripartikeltersebut.2.1BesaranSkalar&BesaranVektorPergeseransuatupartikeladalahperubahanposisidaripartikeltersebut.JikasebuahpartikelberpindahdariposisiAkeposisiB,makapergeserannyadapatdinyatakandenganvektorAByangmemilikianakpanahdiByangmenunjukkanbahwapergeserantersebutmulaidariAkeB(Gambar1.a).Dengancarayangsama,perubahanposisipartikeldariposisiBkeposisiCdapatdinyatakandenganvektorBC(Gambar1.b).HasiltotalkeduapergeseraninisamadenganpergeserandariAkeC,sehinggavektorACdisebutsebagaijumlahatauresultandaripergeseranABdanBC.Gambar1VektorPergeseranBeberapabesaranfisislainmemilikisifatseperti“pergeseran”,yaitudisampingmempunyaibesarjugamempunyaiarah.Jadiuntukmenyatakanbesaranfisistersebut,disampingmenyatakannilainya,kitajugaharusmenyatakanarahnya.Besaranfisissepertiinidikatakansebagaibesaranvektor.Secaraumumbesaranvektoradalahbesaranyangmempunyaibesardanarah.Contohnya:gaya,kecepatan,percepatan,momentum,impuls,momengaya,kuatmedanlistrik,dankuatmedanmagnet.Sedangkanbesaranfisisyangtidakmempunyaiarahdandapatdinyatakansecaratepathanyaolehsebuahbilangan,disebutsebagaibesaranskalar.Contohnya:jarak,usaha,energi,daya,massajenis,luas,volume,tekanan,temperatur,waktu,muatanlistrik,potensiallistrik,dankapasitas.Perhitungandenganskalardapatdilakukandenganmenggunakanaturanaljabarbiasa.2.2VektorPosisidanVektorSatuanJikakitainginmenyatakanletakatauposisisebuahtitikdalamsuatubidangdatar,makakitamembutuhkansuatusistemkoordinat(misalnyasumbuxdansumbuy).Dengan

4menggunakansistemsumbuini,kitadapatmenentukankoordinattitikPdengantitikacuanO(Gambar2).JikakoordinatPadalah(3,4),makajarakOPharuslahsamadengan5cmdanposisititikPterhadaptitikacuanOdapatdinyatakansebagaivektorposisiyangdituliskansebagai)(Prv.Gambar2.VektorPosisiSebuahvektorsatuanadalahvektortakberdimensiyangdidefinisikanmempunyaibesar1danmenunjukkesuatuarahtertentu.Dalamsistemkoordinatbiasanyadigunakanlambangkhususi,j,dankuntukmenyatakanvektorsatuandalamarahsumbux,y,danxpositifberturut-turut(Gambar3).Perhatikanbahwai,j,danktidakharusterletakpadatitikasalkoordinat.Sepertihalnyavektor-vektorlain,vektorsatuandapatditranslasikankemanasajadalamruangkoordinat,asalkanarahnyaterhadapsumbukoordinattidakberubah..Gambar3.Vektor-VektorSatuanGambar4.VektorAdalambentukvektor-vektorsatuanA.VektorAxiadalahhasilkalikomponenAxdenganvektorsatuani.Vektoriniadalahvektorsejajardengansumbux(Gambar4).SehinggavektorAdapatditulissebagaijumlahantigavektoryangmasing-masingsejajarterhadapsumbukoordinat:A=Axi+Ayj+Azk(1)

‹ ›

  /11